Exámenes resueltos EBAU Matemáticas Canarias3 Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:
?(0,−2,3), ? (1,−1,4), ? (2,3,3) y ?(4,5,5).
a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.
A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene.
b) Calcular la ecuación de la recta ?, perpendicular al plano ?:
que pasa por el punto ?.
4 En un cierto instituto el 50% de su alumnado lleva el desayuno desde casa, el 40% lo compra en la cafetería del instituto, y el resto lo adquiere en un bazar cercano al instituto. Solamente un 5% de los desayunos que se llevan desde casa incluyen bebidas azucaradas, pero en los desayunos comprados en la cafetería este porcentaje es del 60% y en los desayunos comprados en el bazar del 80%.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.
b) Justificar si es cierto que más de un 30% de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas.
c) Justificar si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que 0,1.
1 Se desea construir una caja sin tapa superior. Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas. Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.
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2 Un granjero compra un determinado mes 274€ de pienso para su ganado. Con ese dinero ha comprado un total de 66 sacos de pienso de tres marcas diferentes: A, B y C. Se sabe que el precio de cada marca de pienso que ha comprado es de 5€, 4€ y 4€, respectivamente. También se sabe que el número de sacos adquiridos de la marca C es el doble que el total de sacos comprados de las marcas A y B juntos. Averiguar la cantidad de sacos que el granjero ha comprado de cada una de las tres marcas.
3Dadas las ecuaciones de los planos:
y
a) Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos ?1 y ?2 que pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son ?(1,−1,0) y ?(−1,−3,2)
b) Calcular el ángulo formado por los planos ?1 y ?2.
4 Se ha comprobado que, al aplicar un determinado medicamento, la probabilidad de que elimine el acné a un paciente es del 80 %. Suponiendo independencia de sucesos.
a) Si se lo toman 100 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe con más de 75 pacientes?
b) Si se lo toman 225 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe entre 170 y 190 pacientes?
c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné si se toman el medicamento 500 pacientes?
1 Consideremos la función , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:
a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función f(x).
b) Calcule el valor de la integral: .
2 Dada la matriz
a) Halle los valores del parámetro k para los que la matriz A tiene inversa.
b) Tomando el valor k =-1 en la matriz A, calcule la matriz X que verifica que:
A X = 24· I3 , siendo I3 la matriz identidad de orden 3.
3 Dadas las rectas siguientes: ,
a) Estudie la posición relativa de r y s.
b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta r, y que contiene el punto
A(11, –2, 5).
4 El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.
a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento?
b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas
de uso?