Categoría: Opción A

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Convocatoria Extraordinaria Ejercicio Funciones Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A 1

1 Dada la función \inline f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2} + a}{2x - 4} & x \leq 0\\ 10x^{2} + x + b & x > 0 \end{matrix}\right.
Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función ?(?) sea continua y derivable en ℝ. Dar las expresiones de la función ?(?) y de su derivada ?′(?).

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Álgebra Convocatoria Extraordinaria Ejercicio Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A 2

2 Se consideran las matrices: \inline A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} ; \inline B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & -1 \end{pmatrix}

a) Sea la matriz \inline M = A + c. B, donde ? es un número real cualquiera. Calcular los valores de ? de forma que el rango (?) = 1.
b) Sea la matriz \inline D = A^{2} + B . A
Averiguar la matriz ? que cumple la siguiente ecuación matricial: \inline D . X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

 

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Convocatoria Extraordinaria Ejercicio Geometría Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A 3

3 Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

?: 5 − ? = ? − 3 = 5 − ?
π: 3x − 4y − 8z + 35 = 0

a) Comprobar que la recta ? y el plano π se cortan en un punto. Averiguar dicho punto.
b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto ? (2, 2, 2), paralelo a la recta ?, y perpendicular al plano π.

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Convocatoria Extraordinaria Ejercicio Estadística y probabilidad Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A 4

4 Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0.01 y las arandelas se pueden considerar independientes entre sí:
a) Determinar si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20%.
b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote?.
c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas?.

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2021 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A

1 Dada la función \inline f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2} + a}{2x - 4} & x \leq 0\\ 10x^{2} + x + b & x > 0 \end{matrix}\right.
Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función ?(?) sea continua y derivable en ℝ. Dar las expresiones de la función ?(?) y de su derivada ?′(?).

2 Se consideran las matrices: \inline A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} ; \inline B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & -1 \end{pmatrix}

a) Sea la matriz \inline M = A + c. B, donde ? es un número real cualquiera. Calcular los valores de ? de forma que el rango (?) = 1.
b) Sea la matriz \inline D = A^{2} + B . A
Averiguar la matriz ? que cumple la siguiente ecuación matricial: \inline D . X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

3 Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

?: 5 − ? = ? − 3 = 5 − ?
π: 3x − 4y − 8z + 35 = 0

a) Comprobar que la recta ? y el plano π se cortan en un punto. Averiguar dicho punto.
b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto ? (2, 2, 2), paralelo a la recta ?, y perpendicular al plano π.

4 Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0.01 y las arandelas se pueden considerar independientes entre sí:
a) Determinar si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20%.
b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote?.
c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas?.

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2021 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Junio A

1 Dada la función \fn_jvn f(x)=\frac{ax^{2}-2}{b-x} ,donde ? y ? son dos parámetros con valores reales.
a) Calcular el valor de los parámetros ? y ? que verifican ?(−2) = 2 y que ?(?) sea continua en ℝ − {5}. Escribir la función resultante ?(?) y calcular su derivada ?′(?).
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función ?(?) si los parámetros toman los valores ? = −1 y ? = −3.

2 Calcular el valor de la matriz \inline \fn_jvn M = X^{2} - Y^{2} , siendo ? e ? las matrices que son solución del siguiente sistema:
\fn_jvn \left\{\begin{matrix} 4X + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & 8\\ -3 & -1 \end{pmatrix}\\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.

3 Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:
?(0,−2,3), ? (1,−1,4), ? (2,3,3) y ?(4,5,5).
a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.
A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene.
b) Calcular la ecuación de la recta ?, perpendicular al plano ?:

\fn_jvn \pi \equiv \left\{\begin{matrix} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = -2 - \lambda + 2\mu\\ z = 3 + 3\lambda - \mu \end{matrix}\right.
que pasa por el punto ?.

4 En un cierto instituto el 50% de su alumnado lleva el desayuno desde casa, el 40% lo compra en la cafetería del instituto, y el resto lo adquiere en un bazar cercano al instituto. Solamente un 5% de los desayunos que se llevan desde casa incluyen bebidas azucaradas, pero en los desayunos comprados en la cafetería este porcentaje es del 60% y en los desayunos comprados en el bazar del 80%.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.
b) Justificar si es cierto que más de un 30% de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas.
c) Justificar si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que 0,1.

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2020 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2020 Julio A

1 Consideremos la función \fn_jvn f(x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}} , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:
a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función f(x).
b) Calcule el valor de la integral: \fn_jvn \int_{1}^{e}f(x)dx.

2 Dada la matriz \fn_jvn A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1\\ 0 & k-1 & k-1\\ k & 1 & k-3 \end{pmatrix}
a) Halle los valores del parámetro k para los que la matriz A tiene inversa.
b) Tomando el valor k =-1 en la matriz A, calcule la matriz X que verifica que:
A X = 24· I3 , siendo I3 la matriz identidad de orden 3.

3 Dadas las rectas siguientes: \fn_jvn r\equiv \left\{\begin{matrix} x + y - z = 4\\ x + 2y = 7 \end{matrix}\right.  ,  \fn_jvn s\equiv \left\{\begin{matrix} x = 2\\ y + 5 = 0 \end{matrix}\right.
a) Estudie la posición relativa de r y s.
b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta r, y que contiene el punto
A(11, –2, 5).

4 El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.
a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento?
b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso?

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2019 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2019 Julio A

1 Dada la función:  \fn_jvn f(x) = x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + 7
Calcular los valores de  a, b y c sabiendo que se cumplen las condiciones siguientes:
– Dos de sus extremos relativos se encuentran en los puntos de abcisa x=0 y x=-2
– La función corta el eje OX en el punto x =1

2 Dado el sistema:
\inline \fn_jvn \left.\begin{matrix} 2x + y + 3z = 2\\ 5x + 2y + 4z = -1\\ 3x + y + k^{2}z = 3k \end{matrix}\right\}
a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k 
b) Resolverlo para k =2

3 Hallar la ecuación de la recta que verifica simultáneamente las siguientes condiciones:
– es paralela a los planos de ecuaciones: \fn_jvn \pi_{1}\equiv x - 3y + z = 0 y \fn_jvn \pi_{2}\equiv 2x - y + 3z = 5
– pasa por el punto P(2,-1,5)

4  En un supermercado se sabe que el 55% de los clientes traen su propia bolsa. El 30% de los que traen su propia bolsa son hombres y el 40% de los que no traen su propia bolsa son mujeres.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.
b) ¿Qué proporción de clientes son mujeres?
c) Si un cliente elegido al azar es hombre, ¿qué probabilidad hay de que haya traído su propia bolsa?

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2019 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2019 Junio A

1 Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

2 Dadas las matrices: \inline \fn_jvn A = \begin{pmatrix} x & 1\\ 1 & x+1 \end{pmatrix} y \,\,\, B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} y sea I la matriz identidad de orden 2.
a) Calcular el valor de x de modo que se verifique la igualdad: \inline \fn_jvn B^{2} = A
b) Calcular el valor de x para que \inline \fn_jvn A-I_{2}=B^{-1}.

3 Dados los planos \inline \fn_jvn \pi_{1} \equiv x-y+3=0\, \, y\, \, \, \pi_{2} \equiv 2x+y-z=0 , calcular:
a) La ecuación de la recta s paralela a los planos \fn_jvn \pi_{1} \, \, y \, \, \pi_{1} que pasa por el punto B(2,2,3)
b) El ángulo que forman los planos \inline \fn_jvn \pi_{1} \, \, y \, \, \pi_{1}.

4 En un banco se sabe que el tiempo de devolución de un préstamo de 18.000 € sigue una distribución normal de media 60 meses y desviación típica 8 meses. Se elige al azar un préstamo de 18.000 € realizado en dicho banco:
a) Calcular la probabilidad de que dicho préstamo se devuelva como mucho en 70 meses.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera devuelto, al menos en 4 años?
c) ¿Qué porcentaje de préstamos de 18.000 € del mismo banco se formalizan para ser devueltos entre los 4 y los 6 años?

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2019 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas aplicadas CS Opción A

Matemáticas Aplicadas CS 2019 Junio A

1 A partir de una muestra de 225 parados, se estima que un intervalo de confianza para la prestación social media que reciben está entre 407,72 y 442,28 euros (ambos incluidos). Suponiendo hipótesis de normalidad, con una desviación típica de 90 euros:
a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?
b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?
c) Usando la estimación puntual de la prestación social media obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de la prestación social de 25 parados sea mayor o igual que 430 euros?

2 Una empresa fabrica altavoces para equipos de cine en casa en tres factorías situadas en Japón, Alemania y España. Estos altavoces son de 4 tipos: central, delanteros, efectos y “subwoofer”. En Japón se fabrican altavoces de los 4 tipos siendo idéntica la cantidad de cada uno. En Alemania sólo se fabrican los “subwoofer” y de efectos, siendo la producción de los de efectos doble que los otros. En España se fabrican todos menos el “subwoofer”, con idéntica producción de cada tipo. Finalmente, también sabemos que la producción de la fábrica de Japón es doble que la de Alemania, y ésta coincide con la española.
a) Construir el árbol de probabilidades.
b) Elegido, al azar un altavoz fabricado por esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que sea un altavoz central?
c) Si compramos un altavoz central de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?

3 Durante los últimos 5 años, el beneficio de una empresa, en cientos de miles de euros, viene dado por la función:

\fn_jvn b(t) = \left\{\begin{matrix} 2t &, t \in [0,3] \\ 6 - \frac{(t-3)^{2}}{2} & , t \in (3,5] \end{matrix}\right.   siendo ? el tiempo en años.

Justificando la respuesta:

a) ¿Cuándo ha crecido y ha decrecido ?(?)?
b) En su caso, determinar cuándo se observan los máximos y mínimos locales de ?(?), así como los correspondientes valores.
c) ¿Cuándo el beneficio fue igual a 500000 euros?

4 Una guagua de Madrid a París ofrece hasta 90 plazas de dos tipos: A (al precio de 65€ y con 30 kgr. de equipaje), y B (al precio de 95 € y con 50 kgr. de equipaje). Si la guagua admite hasta 3000 Kg. de equipaje y se quiere maximizar el ingreso total por la venta de plazas:
a) Formular el correspondiente problema de programación lineal y representar la región factible.
b) ¿Cuántas plazas de cada tipo determinan la solución óptima? ¿Cuál es el ingreso total óptimo?

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