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2021 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Julio A

1 Dada la función \inline f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2} + a}{2x - 4} & x \leq 0\\ 10x^{2} + x + b & x > 0 \end{matrix}\right.
Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función ?(?) sea continua y derivable en ℝ. Dar las expresiones de la función ?(?) y de su derivada ?′(?).

2 Se consideran las matrices: \inline A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} ; \inline B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & -1 \end{pmatrix}

a) Sea la matriz \inline M = A + c. B, donde ? es un número real cualquiera. Calcular los valores de ? de forma que el rango (?) = 1.
b) Sea la matriz \inline D = A^{2} + B . A
Averiguar la matriz ? que cumple la siguiente ecuación matricial: \inline D . X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

3 Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

?: 5 − ? = ? − 3 = 5 − ?
π: 3x − 4y − 8z + 35 = 0

a) Comprobar que la recta ? y el plano π se cortan en un punto. Averiguar dicho punto.
b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto ? (2, 2, 2), paralelo a la recta ?, y perpendicular al plano π.

4 Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0.01 y las arandelas se pueden considerar independientes entre sí:
a) Determinar si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20%.
b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote?.
c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas?.

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2021 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción B

Matemáticas II 2021 Julio B

1 Dadas las funciones:  \inline f(x) = x^{2} - 4x ; \inline g(x) = 4 - 4x 
a) Esboce el gráfico del recinto limitado por las funciones f(x) y g(x).
b) Determinar el área del recinto limitado por las funciones f(x) y g(x).

2 En la liga Mate-Basket, las mujeres matemáticas con mayor puntuación son: Lovelace, Noerther y Germain. Las tres acumulan 17500 puntos. Además, lo que ha anotado Germain más 2500 puntos es equivalente a la mitad de lo anotado por Lovelace. Finalmente, Noerther anotó el doble que Germain.
Escriba el ranking de puntuaciones de la liga Mate-Basket de las jugadoras Lovelace, Noerther y Germain.

3 Dado el plano o ?:−? + 3? + 2? + 5 = 0 y las rectas secantes:
\inline r: \frac{x - 5}{2} = y + 2 = 1 - z    \inline s: \frac{x + 1}{6} = \frac{y}{-2} = z

a) Sea A el punto de intersección de las rectas ? y ?. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano ? y que pasa por A.
b) Calcular el ángulo que forman las rectas ? y ?.

4 Suponiendo que el tiempo de espera en la cola de correos sigue una distribución normal de media 7’5 minutos con 2 minutos de desviación típica.
a) Hallar el porcentaje de personas que esperan más de 9 minutos.
b) Correos afirma que: “Menos del 40% de las personas que acuden a Correos esperan entre 7 y 10 minutos”. ¿Es correcta la afirmación?.

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2021 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2021 Junio A

1 Dada la función \fn_jvn f(x)=\frac{ax^{2}-2}{b-x} ,donde ? y ? son dos parámetros con valores reales.
a) Calcular el valor de los parámetros ? y ? que verifican ?(−2) = 2 y que ?(?) sea continua en ℝ − {5}. Escribir la función resultante ?(?) y calcular su derivada ?′(?).
b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función ?(?) si los parámetros toman los valores ? = −1 y ? = −3.

2 Calcular el valor de la matriz \inline \fn_jvn M = X^{2} - Y^{2} , siendo ? e ? las matrices que son solución del siguiente sistema:
\fn_jvn \left\{\begin{matrix} 4X + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & 8\\ -3 & -1 \end{pmatrix}\\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.

3 Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:
?(0,−2,3), ? (1,−1,4), ? (2,3,3) y ?(4,5,5).
a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.
A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene.
b) Calcular la ecuación de la recta ?, perpendicular al plano ?:

\fn_jvn \pi \equiv \left\{\begin{matrix} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = -2 - \lambda + 2\mu\\ z = 3 + 3\lambda - \mu \end{matrix}\right.
que pasa por el punto ?.

4 En un cierto instituto el 50% de su alumnado lleva el desayuno desde casa, el 40% lo compra en la cafetería del instituto, y el resto lo adquiere en un bazar cercano al instituto. Solamente un 5% de los desayunos que se llevan desde casa incluyen bebidas azucaradas, pero en los desayunos comprados en la cafetería este porcentaje es del 60% y en los desayunos comprados en el bazar del 80%.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.
b) Justificar si es cierto que más de un 30% de los desayunos del alumnado incluyen bebidas azucaradas.
c) Justificar si es cierto que, elegido un desayuno al azar, la probabilidad que un estudiante lo haya traído desde casa, sabiendo que el desayuno incluye una bebida azucarada, es mayor que 0,1.

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2021 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción B

Matemáticas II 2021 Junio B

1 Se desea construir una caja sin tapa superior. Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas. Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

 

2 Un granjero compra un determinado mes 274€ de pienso para su ganado. Con ese dinero ha comprado un total de 66 sacos de pienso de tres marcas diferentes: A, B y C. Se sabe que el precio de cada marca de pienso que ha comprado es de 5€, 4€ y 4€, respectivamente. También se sabe que el número de sacos adquiridos de la marca C es el doble que el total de sacos comprados de las marcas A y B juntos. Averiguar la cantidad de sacos que el granjero ha comprado de cada una de las tres marcas.

3 Dadas las ecuaciones de los planos:

\fn_jvn \pi _{1}\equiv 2x + 3y - z = 9  y  \fn_jvn \pi _{2}\equiv \left\{\begin{matrix} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = -2 - \lambda + 2\mu \\ z = 3 + 3\lambda - \mu \end{matrix}\right.

a) Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos ?1 y ?2 que pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son ?(1,−1,0) y ?(−1,−3,2)
b) Calcular el ángulo formado por los planos ?1 y ?2.

4 Se ha comprobado que, al aplicar un determinado medicamento, la probabilidad de que elimine el acné a un paciente es del 80 %. Suponiendo independencia de sucesos.
a) Si se lo toman 100 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe con más de 75 pacientes?
b) Si se lo toman 225 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe entre 170 y 190 pacientes?
c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné si se toman el medicamento 500 pacientes?

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2020 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2020 Julio A

1 Consideremos la función \fn_jvn f(x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}} , donde ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:
a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función f(x).
b) Calcule el valor de la integral: \fn_jvn \int_{1}^{e}f(x)dx.

2 Dada la matriz \fn_jvn A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1\\ 0 & k-1 & k-1\\ k & 1 & k-3 \end{pmatrix}
a) Halle los valores del parámetro k para los que la matriz A tiene inversa.
b) Tomando el valor k =-1 en la matriz A, calcule la matriz X que verifica que:
A X = 24· I3 , siendo I3 la matriz identidad de orden 3.

3 Dadas las rectas siguientes: \fn_jvn r\equiv \left\{\begin{matrix} x + y - z = 4\\ x + 2y = 7 \end{matrix}\right.  ,  \fn_jvn s\equiv \left\{\begin{matrix} x = 2\\ y + 5 = 0 \end{matrix}\right.
a) Estudie la posición relativa de r y s.
b) Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta r, y que contiene el punto
A(11, –2, 5).

4 El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.
a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento?
b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso?

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2020 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción B

Matemáticas II 2020 Julio B

1 Sean las funciones:  \fn_jvn f(x) = 2x^{2} + ax^{2} + b  y  \fn_jvn g(x) = -2x^{3} + c.
a) Calcule los valores a, b y c de manera que las gráficas de f(x) y g(x) cumplan las dos
condiciones siguientes:
– Se cortan en el punto P(1, 1).
– En dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes.
Dar las expresiones de las funciones resultantes.
b) Suponiendo a = b = 1 en f(x), halle las asíntotas de la función:  \fn_jvn h(x) = \frac{f(x)}{x^{3}-1}

2 Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.
Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?.

3 Consideremos la recta \fn_jvn r:\left\{\begin{matrix} 2x - y = 5\\ 3x - 4z = -1 \end{matrix}\right. , y el plano  \fn_jvn \pi _{1}\equiv x - y + 3z = 12
a) Calcule la ecuación del plano \fn_jvn \large \pi _{2} que contiene a la recta \fn_jvn \large r y es perpendicular al plano \fn_jvn \large \pi _{1}.
b) Sabiendo que la recta \fn_jvn \large r corta el plano \fn_jvn \large \pi _{1} averigüe el punto de intersección.

4 Se sabe que el 8% de los análisis de comprobación del níquel en una aleación de acero son
erróneos. Se realizan 10 análisis.
a) Se afirma que la probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
b) Se afirma que la probabilidad de obtener exactamente 3 análisis erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
c) Si se realizan 100 análisis, justifique si el número esperado de análisis correctos es igual a 8.

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2019 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2019 Julio A

1 Dada la función:  \fn_jvn f(x) = x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + 7
Calcular los valores de  a, b y c sabiendo que se cumplen las condiciones siguientes:
– Dos de sus extremos relativos se encuentran en los puntos de abcisa x=0 y x=-2
– La función corta el eje OX en el punto x =1

2 Dado el sistema:
\inline \fn_jvn \left.\begin{matrix} 2x + y + 3z = 2\\ 5x + 2y + 4z = -1\\ 3x + y + k^{2}z = 3k \end{matrix}\right\}
a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k 
b) Resolverlo para k =2

3 Hallar la ecuación de la recta que verifica simultáneamente las siguientes condiciones:
– es paralela a los planos de ecuaciones: \fn_jvn \pi_{1}\equiv x - 3y + z = 0 y \fn_jvn \pi_{2}\equiv 2x - y + 3z = 5
– pasa por el punto P(2,-1,5)

4  En un supermercado se sabe que el 55% de los clientes traen su propia bolsa. El 30% de los que traen su propia bolsa son hombres y el 40% de los que no traen su propia bolsa son mujeres.
a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.
b) ¿Qué proporción de clientes son mujeres?
c) Si un cliente elegido al azar es hombre, ¿qué probabilidad hay de que haya traído su propia bolsa?

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2019 Convocatoria Extraordinaria Examen Matemáticas II Opción B

Matemáticas II 2019 Julio B

1 Dada la parábola de ecuación \fn_jvn y = 4-x^{2} y la recta de ecuación \fn_jvn y = x + 2
a) Hallar los puntos intersección entre las curvas anteriores.
b) Esbozar el gráfico señalando el recinto limitado por ambas curvas.
c) Calcular el área del recinto limitado por ambas curvas.

2 Sea la matriz C = A • B, donde:

\fn_jvn A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}  y \fn_jvn B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ m & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
a) Encontrar los valores de m para los que existe inversa de la matriz C
b) Calcular la matriz inversa de C en el caso de

3 Hallar el ángulo que forman el plano \fn_jvn \pi \equiv 2x - y + z = 0 y el plano que contiene a las
rectas:
\fn_jvn r \equiv \left\{\begin{matrix} x = 1-t\\ y = t\\ z = t \end{matrix}\right. y  \fn_jvn s \equiv \frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{0} = z - 1 

4 Una compañía que fabrica ventiladores de CPU sabe que el tiempo de vida (en meses) de sus ventiladores se distribuye según una normal, de media igual a 18 meses y desviación típica 3,6 meses. Elegido un ventilador al azar:
a) Calcular la probabilidad de que funcione como mucho 16 meses.
b) Calcular la probabilidad de que funcione al menos 1 año.
c) Calcular la probabilidad de que funcione entre 1 y 2 años.

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2019 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción A

Matemáticas II 2019 Junio A

1 Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

2 Dadas las matrices: \inline \fn_jvn A = \begin{pmatrix} x & 1\\ 1 & x+1 \end{pmatrix} y \,\,\, B=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} y sea I la matriz identidad de orden 2.
a) Calcular el valor de x de modo que se verifique la igualdad: \inline \fn_jvn B^{2} = A
b) Calcular el valor de x para que \inline \fn_jvn A-I_{2}=B^{-1}.

3 Dados los planos \inline \fn_jvn \pi_{1} \equiv x-y+3=0\, \, y\, \, \, \pi_{2} \equiv 2x+y-z=0 , calcular:
a) La ecuación de la recta s paralela a los planos \fn_jvn \pi_{1} \, \, y \, \, \pi_{1} que pasa por el punto B(2,2,3)
b) El ángulo que forman los planos \inline \fn_jvn \pi_{1} \, \, y \, \, \pi_{1}.

4 En un banco se sabe que el tiempo de devolución de un préstamo de 18.000 € sigue una distribución normal de media 60 meses y desviación típica 8 meses. Se elige al azar un préstamo de 18.000 € realizado en dicho banco:
a) Calcular la probabilidad de que dicho préstamo se devuelva como mucho en 70 meses.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera devuelto, al menos en 4 años?
c) ¿Qué porcentaje de préstamos de 18.000 € del mismo banco se formalizan para ser devueltos entre los 4 y los 6 años?

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2019 Convocatoria Ordinaria Examen Matemáticas II Opción B

Matemáticas II 2019 Junio B

1 Dada la siguiente expresión de la función f, de la que se desconocen algunos valores: 

\fn_jvn \mathbf{f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} a-x & si & x \leq 1 \\ \\ \frac{b}{x}-ln(x) & si & x > 1 \\ \end{array} \right.}
Calcular los valores de a y b para que f sea derivable en todo su dominio.
Escribir la función resultante.

2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

\fn_jvn \left. 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4\\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix} \atop X - 2Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2\\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix} \right\}

3 Se consideran los puntos A(2, -1, 1) y B(-2, 3, 1) que determinan la recta r  
a) Calcular la recta perpendicular a r que pasa por el punto P(-4, 17, 0)
b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. 

4 Una planta ensambladora de circuitos recibe componentes procedentes de tres fabricantes A, B y C. El 50% del total de los componentes se compra al fabricante A, mientras que a los fabricantes B y C se le compra un 25% a cada uno. El porcentaje de componentes defectuosos es de un 5% para el fabricante A, el 10% para el fabricante B y el 12% para el fabricante C.
a) Construir el diagrama de árbol con las probabilidades asignadas.
b) El Departamento de Control de la Calidad escoge un circuito al azar en el almacén, hallar la probabilidad de que contenga componentes defectuosos.
c) Escogido al azar un circuito que no tiene componentes defectuosos, ¿qué porcentaje de dichos componentes han sido vendidos por el proveedor B?

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